Question

11．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y＜1，且x≥0，y≥0}，求平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积．

Answer 1

分析 设$\left\{\begin{array}{l}{s=x+y}\\{t=x-y}\end{array}\right.$，用s，t表示x，y，建立关于s，t的不等式组，作出不等式组对应的平面区域，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：设$\left\{\begin{array}{l}{s=x+y}\\{t=x-y}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{s+t}{2}}\\{y=\frac{s-t}{2}}\end{array}\right.$，
∵A={（x，y）|x+y＜1，且x≥0，y≥0}
∴$\left\{\begin{array}{l}{s＜1}\\{\frac{s+t}{2}≥0}\\{\frac{s-t}{2}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{s＜1}\\{s+t≥0}\\{s-t≥0}\end{array}\right.$，
则B={（s，t）|$\left\{\begin{array}{l}{s＜1}\\{s+t≥0}\\{s-t≥0}\end{array}\right.$}，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{s+t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，即B（1，-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{s-t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
则|AB|=2，
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}×1×2$=1．
即平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积是1．

点评 本题主要考查平面区域的面积的计算，利用换元法转化为关于s，t的二元一次不等式组，作出不等式组对应的平面区域进行求解是解决本题的关键．