Question

如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．

（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；
（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．

Answer 1

；

解析试题分析：（I）利用中点坐标公式，求M坐标，代入椭圆方程即可；（II）设，表示出P坐标，再利用垂直条件写关系式，求的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，
因为，，
所以 点的坐标为．      2分
由点在椭圆上，   
所以 ，                                                  4分
解得 ．                                                         5分
（Ⅱ）解：设，则 ，且．     ①             6分
因为 是线段的中点，
所以 ．                                                 7分
因为 ，
所以 ．    ②                                 8分
由 ①，② 消去，整理得 ．                             10分
所以 ，                          12分
当且仅当 时，上式等号成立．                        
所以 的取值范围是．                                     14分
考点：１．中点坐标公式；２．基本不等式，分离常数；３．转化思想.