Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或

解析试题分析：（Ⅰ）利用转化为二次函数求最值，求得相应值；（Ⅱ）先由点P在椭圆上建立实数与直线的斜率之间的关系，再由求得的范围，进而求得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）∵ ∴         （1分）
则椭圆方程为即
设则
       （2分）

当时，有最大值为         （3分）
解得∴，椭圆方程是       （4分）
（Ⅱ）设方程为
由
整理得.           （5分）
由，得.
              （6分）
∴
则,
        （7分）
由点P在椭圆上，得
化简得①                 （8分）
又由
即将，代入得
            （9分）
化简，得
则,                    （10分）
∴②
由①，得
联立②，解得∴或     （12分）
考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.弦长公式.