Question

8．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₂+a₃=26，S₆=728．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：${{S}_{n+1}}^{2}-{S}_{n}{S}_{n+2}=4×{3}^{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{S_3}=\frac{{{a_1}（{1-{q^3}}）}}{1-q}=26\\{S_6}=\frac{{{a_1}（{1-{q^6}}）}}{1-q}=728\end{array}\right.$，从而解方程即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${S_n}=\frac{{2×（{1-{3^n}}）}}{1-3}={3^n}-1$，从而写出${S_{n+1}}={3^{n+1}}-1$，${S_{n+2}}={3^{n+2}}-1$，从而证明．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
由728≠2×26得S₆≠2S₃，
故q≠1，
故$\left\{\begin{array}{l}{S_3}=\frac{{{a_1}（{1-{q^3}}）}}{1-q}=26\\{S_6}=\frac{{{a_1}（{1-{q^6}}）}}{1-q}=728\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ q=3\end{array}\right.$，
∴${a_n}=2×{3^{n-1}}$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，${S_n}=\frac{{2×（{1-{3^n}}）}}{1-3}={3^n}-1$；
∴${S_{n+1}}={3^{n+1}}-1$，${S_{n+2}}={3^{n+2}}-1$，
∴${S_{n+1}}^2-{S_{n+2}}{S_n}=4×{3^n}$．

点评 本题考查了等比数列的性质应用及前n项和公式的应用．