Question

【题目】已知是坐标原点，椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积最大时.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于另一点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）确定是椭圆的上顶点或下顶点时的面积最大，则有，即，再根据求解.

（2）依题意，点的坐标为，直线不与轴垂直，设直线，即，设，.由，得.由韦达定理，用k表示，再根据，得到，进而求得，证明.

（1）当是椭圆的上顶点或下顶点时的面积最大，

设是椭圆的上顶点，

则，即.

又，，

，，.

椭圆的标准方程为.

（2）证明：依题意，点的坐标为，

直线不与轴垂直，设直线，

即，直线，即.

设，.

由，

得.

，.

则.

又，，

.

又，.

.