Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.

【解析】

（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；

（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；

（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.

（1）因为函数，

所以，.

又因为，则切点坐标为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）函数定义域为，

由（1）可知，.

令解得.

与在区间上的情况如下：

	－	0	＋
	↘	极小值	↗

所以，的单调递增区间是；

的单调递减区间是.

（3）当时，“”等价于“”.

令，，，.

令解得，

当时，，所以在区间单调递减.

当时，，所以在区间单调递增.

而，.

所以在区间上的最大值为.

所以当时，对于任意，都有.