Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.

（1）求的最小值；

（2）若，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）设，联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出点的坐标和所在直线方程，求点 的坐标，利用基本不等式即可求得 的最小值；
（2）由（1）知所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点的坐标，并代入 ，得到 ，因此得证直线过定点；

试题解析：（1）设直线 的方程为，由题意， ，

由方程组，得，

由题意，所以，

设，

由根与系数的关系得，所以，

由于为线段的中点，因此，

此时，所以所在直线的方程为，

又由题意知，令，得，即，

所以，当且仅当时上式等号成立，

此时由得，因此当且时， 取最小值.

（2）证明：由（1）知所在直线的方程为，

将其代入椭圆的方程，并由，解得，

又，

由距离公式及得

， ，

，

由，得，

因此直线的方程为，所以直线恒过定点.