Question

（2012•德阳二模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄面ABCD，AB=AC，PA=AD=1，CD=2，BC=

2

，∠ADC=90°．
（1）求证：面PCD丄面PAD；
（2）求面PAB与面PCD所成的锐二面角．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的定义，得PA丄CD，结合DA丄CD，得到CD⊥平面PAD．再根据CD?平面PCD，结合面面垂直判定定理，得到平面PCD丄平面PAD；
（2）以D为原点，DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图空间直角坐标系．给出出A、C、P的坐标，并设B（x，y，0），利用距离公式解出x=1，y=2（舍负），得B（1，2，0）．再用垂直向量数量积为0的方法，分别得到平面PCD的法向量

m

和平面PAB的法向量

n

的坐标，利用向量的夹角公式得到

m

、

n

夹角的余弦，即得面PAB与面PCD所成的锐二面角大小．

解答：解：（1）∵PA丄平面ABCD，CD?面ABCD，∴PA丄CD
∵DA丄CD，PA、DA是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，∴面PCD丄面PAD；
（2）以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图空间直角坐标系
则A（2，0，0），C（0，1，0），P（2，0，2），设B（x，y，0）
由AB=AC=

5

，BC=

2

，得

(x-2)2+y2=5 x2+(y-1)2=2

，解之得x=1，y=2（舍负），所以B（1，2，0）
∵

DC

=（0，1，0），

DP

=（2，0，2），
∴平面PCD的一个法向量

m

=（a，b，c），满足

DC • m =b=0 DP • m =2a+2c=0

，
取a=1，得

m

=（1，0，-1）．
同理，得到平面PAB的一个法向量

n

=（2，1，0）
∵向量

m

、

n

的夹角满足cos＜

m

，

n

＞=

2

2 × 5

=

10

5

∴面PAB与面PCD所成的锐二面角大小为arccos

10

5

．

点评：本题要四棱锥中求证面面垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了空间垂直关系的证明和用空间向量求二面角大小的知识，属于中档题．