Question

4．已知圆C：x²+y²-2x+4y=0，若直线l：y=k（x-3）．
（1）若直线l过圆C的圆心，求直线l在y轴上的截距；
（2）若圆C被直线l截得的弦长大于4，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把圆的方程写成标准方程写出圆心和半径，圆心代入直线l：y=k（x-3），求出k，即可求直线l在y轴上的截距；
（2）若圆C被直线l截得的弦长大于4，则圆心到直线的距离小于1，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）圆的方程可以化作（x-1）²+（y+2）²=5，所以圆心坐标是（1，-2），半径是$\sqrt{5}$．
∵直线l过圆C的圆心，
∴-2=-2k，
∴k=1，
∴直线l：y=x-3．
x=0，y=3，即直线l在y轴上的截距为3；
（2）圆C被直线l截得的弦长大于4，则圆心到直线的距离小于1，
∴$\frac{|-2k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查圆的方程不同形式的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．