Question

（14分）（2011•天津）已知数列{a_n}与{b_n}满足b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，b_n=，n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列
（Ⅲ）设S_n为{a_n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N^*）

Answer 1

（Ⅰ）a₂=﹣ a₃=8（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

解析试题分析：（Ⅰ）推出b_n的表达式，分别当n=1时，求出a₂=﹣；当n=2时，解出a₃=8；
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，利用等比数列的定义，证明{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）求出S_2n，a_2n，S_2n﹣1，a_2n﹣1，求出+的表达式，然后求出++…++的表达式，利用放缩法证明结果．
（Ⅰ）解：由b_n=，（n∈N^*）可得b_n=
又b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，
当n=1时，a₁+2a₂=﹣1，可得由a₁=2，a₂=﹣；
当n=2时，2a₂+a₃=5可得a₃=8；
（Ⅱ）证明：对任意n∈N^*，a_2n﹣1+2a_2n=﹣2^2n﹣1+1…①
2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②﹣①，得a_2n+1﹣a_2n﹣1=3×2^2n﹣1，即：c_n=3×2^2n﹣1，于是
所以{c_n}是等比数列．
（Ⅲ）证明：
a1=2，由（Ⅱ）知，当k∈N^*且k≥2时，
a_2k﹣1=a₁+（a₃﹣a₁）+（a₅﹣a₃）+（a₇﹣a₅）+…+（a_2k﹣1﹣a_2k﹣3）
=2+3（2+2³+2⁵+…+2^2k﹣3）=2+3×=2^2k﹣1，
故对任意的k∈N^*，a_2k﹣1=2^2k﹣1．
由①得2^2k﹣1+2a_2k=﹣2^2k﹣1+1，所以k∈N^*，
因此，
于是，．
故=
=
所以，对任意的n∈N^*，++…++=（+）+…+（+）
=
=
=n﹣
≤n﹣﹣=n﹣（n∈N^*）
点评：本题考查等比数列的定义，等比数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．