Question

3．在△ABC中，AC=2，D为AC中点，∠A=∠CBD=2∠ABD，则△ABC的面积为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，设∠ABD=θ，θ为锐角，∠A=∠CBD=2θ，∠BDC=3θ．在△ABC中与△BCD中，分别利用正弦定理可得：$\frac{a}{sin3θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$，$\sqrt{2}$sin2θ=sin3θ，利用倍角公式化为：$4co{s}^{2}θ-2\sqrt{2}$cosθ-1=0，解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=cos15°，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，设∠ABD=θ，θ为锐角则，∠A=∠CBD=2θ，∠BDC=3θ．
在△ABC中，$\frac{a}{sin2θ}=\frac{2}{sin3θ}$，
△BCD中，$\frac{a}{sin3θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$，
∴$\sqrt{2}$sin2θ=sin3θ，
∴$\sqrt{2}$×2sinθcosθ=3sinθ-4sin³θ，
化为：$4co{s}^{2}θ-2\sqrt{2}$cosθ-1=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=cos15°，
∴△ABC中，$a=\frac{2sin3{0}^{°}}{sin4{5}^{°}}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×$sin105°=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、和差公式、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．