Question

已知函数．
（1）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；
（2）当时，证明：＞．

Answer 1

（1）函数 在上单调递减，在上单调递增．
（2）见解析.

试题分析：（1）根据是的极值点得，可得导函数值为0，即，求得．进一步讨论导函数为正、负的区间，即得解；
（2）可以有两种思路，一种是注意到当，时，，
转化成证明当时，＞．
研究函数当时， 取得最小值且．
证得，==．
得证.
第二种思路是：当，时，，根据,转化成．
构造函数，研究得到函数在时取唯一的极小值即最小值为．达到证明目的.
试题解析：（1），由是的极值点得，
即，所以．　　　                   ２分
于是，，
由知 在上单调递增，且，
所以是的唯一零点．                    ４分
因此，当时，；当时，，所以，函数 在上单调递减，在上单调递增．            ６分
（2）解法一：当，时，，
故只需证明当时，＞．　           ８分
当时，函数在上单调递增，
又，
故在上有唯一实根，且．       10分
当时，；当时，，
从而当时， 取得最小值且．
由得,．             12分
故
==．
综上，当时，．　          14分
解法二：当，时，，又,所以
．　                  ８分
取函数，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为．　  12分
所以，而上式三个不等号不能同时成立，故＞．             14分