题目内容
已知函数f(x)=
在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设g(x)=lnx.求证:g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.
在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0.(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设g(x)=lnx.求证:g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.
(1) f(x)=
(2)见解析
(2)见解析(1)将x=-1代入切线方程得y=-2.
∴f(-1)=
=-2,化简得b-a=-4.
又f'(x)=
,
∴f'(-1)=
=
=
=-1,
则可得
解得a=2,b=-2,
∴f(x)=.
(2)由已知得lnx≥在[1,+∞)上恒成立,
化简得(x2+1)lnx≥2x-2,
即x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.
设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,
则h'(x)=2xlnx+x+
-2,
∵x≥1,∴2xlnx≥0,
x+≥2,即h'(x)≥0,
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(1)=0,
∴g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.
∴f(-1)=
=-2,化简得b-a=-4.又f'(x)=
,∴f'(-1)=
===-1,则可得
解得a=2,b=-2,
∴f(x)=
.(2)由已知得lnx≥
在[1,+∞)上恒成立,化简得(x2+1)lnx≥2x-2,
即x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.
设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,
则h'(x)=2xlnx+x+
-2,∵x≥1,∴2xlnx≥0,
x+
≥2,即h'(x)≥0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(1)=0,
∴g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.
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．
是函数
的极值点，求
的值并讨论
时，证明：
．
．
，
恒成立，求
的最大值；
有且仅有一个实根，求
的取值范围．
，以点
为切点作函数图像的切线
，直线
与函数
图像及切线
分别相交于
，记
．
的通项；
的前
项和为
，求证：
．
＋b(a＞0)．
x，求a，b的值．
x3+
,
.
的导数为（ ）
