Question

6．已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（0，\;\;\frac{1}{4}]$
• B． $（0，\;\;\frac{1}{2}]$
• C． （0，1）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 根据f（x）的性质得出f（x）的周期为2，在利用奇偶性得出y=f（x）在[-1，3]上的函数图象，利用图象判断交点个数为4时的条件．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）的周期为2．
令g（x）=0得f（x）=k（x+1）．
做出y=f（x）在[-1，3]上的函数图象如图所示：

设直线y=k₁（x+1）经过点（3，1），则k₁=$\frac{1}{4}$．
∵直线y=k（x+1）经过定点（-1，0），且直线y=k（x+1）与y=f（x）的图象有4个交点，
∴0＜k≤$\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了函数的周期的应用，零点个数与函数图象交点的关系，属于中档题．