题目内容

16．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ-ρ=0，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于M，N两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）求|MN|．

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ-ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ-ρ2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．由直线l的参数方程，消去参数t可得普通方程．
（2）直线方程与抛物线方程联立化为：x2-4x-4=0，利用根与系数的关系及其|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ+4sinθ-ρ=0，
可得ρ2sin2θ+4ρsinθ-ρ2=0，
可得直角坐标方程：y2+4y-（x2+y2）=0，即x2=4y．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：y=x+1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，化为：x2-4x-4=0，
∴|MN|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[{4}^{2}-4×（-4）]}$=8．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法、参数方程及其应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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