Question

11．如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线方程，利用已知条件求解即可．
（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．通过①当0＜x≤4时，推出x=2时，S_△OBM最大值为8，②当4＜x≤5时，推出当x=$\frac{9}{2}$时，S_△ABM最大值为$\frac{1}{8}$，然后求解四边形的面积最大．

解答 解：（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），
∴该抛物线的解析式可设为y=a（x-0）（x-5）=ax（x-5）．
∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4-5）=4．∴a=-1．
∴该抛物线的解析式为y=-x（x-5）=-x²+5x．…2分
（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．
①当0＜x≤4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．
∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．
设M（x，-x²+5x），
过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），
∴ME=（-x²+5x）-x=-x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=$\frac{1}{2}$ME（x_E-0）+$\frac{1}{2}$ME（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$ME•x_B=$\frac{1}{2}$ME×4=2ME，
∴S_△OBM=-2x²+8x=-2（x-2）²+8
∴当x=2时，S_△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．….5分
②当4＜x≤5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为：y=-4x+20．
设M（x，-x²+5x），过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，-4x+20），
∴ME=（-x²+5x）-（-4x+20）=-x²+9x-20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=$\frac{1}{2}$ME（x_E-x_B）+$\frac{1}{2}$ME（x_A-x_E）=$\frac{1}{2}$ME•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$ME×1=$\frac{1}{2}$ME，
∴S_△ABM=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x-10=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，
∴当x=$\frac{9}{2}$时，S_△ABM最大值为$\frac{1}{8}$，即四边形的面积最大．…8分
比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．
当x=2时，y=-x²+5x=6，∴M（2，6）．….9分

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．