Question

16．已知3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+$\frac{π}{2}$，α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），求证：tan（α+β）=2tanα

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式求得2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，再利用同角三角函数的基本关系证得要证的结论成立．

解答 解：∵3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+$\frac{π}{2}$，α+β≠kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
即 3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
即2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）=2tanα成立．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．