Question

3．已知A，B是圆${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$上的动点，$AB=\sqrt{3}$，P是圆${C_2}：{（x-3）^2}+{（y-4）^2}=1$上的动点，则$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|$的取值范围为[7，13]．

Answer 1

分析 求出AB的中点的轨迹方程，即可求出$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|$的取值范围．

解答 解：取AB的中点C，则$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|$=2|$\overrightarrow{PC}$|，C的轨迹方程是x²+y²=$\frac{1}{4}$，|C₁C₂|=5
由题意，|$\overrightarrow{PC}$|最大值为5+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{13}{2}$，最小值为5-1-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$．
∴$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|$的取值范围为[7，13]，
故答案为[7，13]．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确转化是关键．