Question

椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）
∵右焦点到直线的距离为，
∴
∴
∵椭圆的离心率为，
∴
∴
∴
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）设A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0）
∵，
∴x₂-x₀，y₂）
∴①
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．
与椭圆方程联立，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0②
∴③④
由①③可得，代入④整理可得：8k⁴+k²-9=0
∴k²=1
此时②为5y²+2y-7=0，判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x-1
分析：（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0），利用，可得x₂-x₀，y₂），设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0，由此即可求得直线l的方程．
点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题．