题目内容

已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想an的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想．
（1）∵a1=1，4an+1-anan+1+2an=9，
∴4a2-a2+2=9，解得a2=
7
3
，同理求得a3=
13
5
，a4=
19
7
；
（2）由a1=1，a2=
7
3
，a3=
13
5
，a4=
19
7
，猜想an=
6n-5
2n-1
；
（3）证明：①当n=1时，a1=1，右端
6×1-5
2×1-1
=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即ak=
6k-5
2k-1
，
那么，当n=k+1时，
∵4ak+1-ak•ak+1+2ak=9，
∴ak+1=
9-2ak
4-ak
=
9-2•
6k-5
2k-1
4-
6k-5
2k-1
=
6k+1
2k+1
=
6(k+1)-5
2(k+1)-1
，
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②得对任意n∈N*，等式均成立．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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