Question

【题目】已知函数，对任意的，满足，其中，为常数．

（1）若的图象在处的切线经过点，求的值；

（2）已知，求证；

（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由和解得；（2）化简，构造函数，根据函数的单调性，证明的最小值大于零即可；（3）讨论三种情况，，，排除前两种，证明第三种情况符合题意即可.

试题解析：（1）在中，取，得，

又，所以．从而，

，．

又，所以，．

（2）．

令，则，

所以时，，单调递减，

故时，，

所以时，．

（3），

①当时，在上，，递增，所以，至多只有一个零点，不合题意；

②当时，在上，，递减，所以，也至多只有一个零点，不合题意；

③当时，令，得，．

此时，在上递减，上递增，上递减，

所以，至多有三个零点．

因为在上递增，所以．

又因为，所以，使得．

又，，所以恰有三个不同的零点：，，．

综上所述，当存在三个不同的零点时，的取值范围是．