Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆经过，，，三点，是线段上的动点，，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．

（1）若，求直线的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求出圆心与半径，设方程为：，因为，则直线到圆心的距离，即可求直线 的方程.

（2）设，由点在线段上，得，因为，所以.

依题意知，线段与圆至多有一个公共点，所以，由此入手求得三角形的面积的最小值

解：（1）由题意可知，圆的直径为，所以圆方程为：.

设方程为：，则，解得，，

当时，直线与轴无交点，不合，舍去．

所以，此时直线的方程为.

（2）设，由点在线段上，得，即.

由，得.

依题意知，线段与圆至多有一个公共点，

故，解得或.

因为是使恒成立的最小正整数，所以.

所以圆方程为：

(i) 当直线时，直线的方程为，此时，

(ii) 当直线的斜率存在时，

设的方程为：，则的方程为：，点.

所以 .

又圆心到的距离为，所以

故

因为，所以.