Question

已知函数．
（1）对任意实数，恒有，证明；
（2）若是方程的两个实根，是锐角三角形的两个内角，求证：。

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析

解析试题分析：（1）先将函数变形为，由实数的任意性可得，从而可得。可将问题转化为时，恒成立。问题即可得证。（2）分析可知时，判别式大于0，且可得两根与系数的关系式。由是锐角三角形的两个内角可知 ,,即 ，。用正切的两角和差公式可求得的值。根据以上不等式即可求得的范围。问题即可得证。
(1) ∵,
又, ∴,                          2分
恒有, 即时,
恒有, 即,                             4分
∴, 又, 故．                            6分
(2) ，即，
依题意，得                        8分
又A，B为锐角三角形的两内角，∴，              9分
∴，  10分
因而 ∴．                          12分
考点：1一元二次不等式；2正切的两角和公式。