Question

2．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁=1，b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，b_n=$\frac{{3+{{（-1）}^n}}}{2}$且a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（-2）ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）令c_k=a_2k+1-a_2k-1，k∈N^*，试判断：$\frac{{{C_{k+1}}}}{C_k}$是否对于同一个常数；若是，求出这个常数，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列的通项公式和递推公式即可求出，
（Ⅱ）根据递推公式求出数列的通项公式，即可得$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=4

解答 解：（I）：由${b_n}=\frac{{3+{{（-1）}^n}}}{2}，n∈{N^*}$，可得${b_n}=\left\{\begin{array}{l}1，n为奇数\\ 2，n为偶数\end{array}\right.$…1分
又${a_n}{b_{n+1}}+{a_{n+1}}{b_n}=1+{（-2）^n}$，a₁=1
当n=1时，a₁b₂+a₂b₁=-1，得a₂=-3…3分
当n=2时，a₂b₃+a₃b₂=5，得a₃=4…5分
（II）证明：${a_n}{b_{n+1}}+{a_{n+1}}{b_n}=1+{（-2）^n}$，n∈N^*，
∴令n=2k-1（k∈N^*），则$2{a_{2k-1}}+{a_{2k}}=1+{（-2）^{2k-1}}$①…7分
令n=2k（k∈N^*），则${a_{2k}}+2{a_{2k+1}}=1+{（-2）^{2k}}$②…9分
由①②得${a_{2k+1}}-{a_{2k-1}}=3×{2^{2k-2}}$，即c_k=3×2^2k-2
因此$\frac{{c}_{k+1}}{{c}_{k}}$=4，…12分．

点评 本题考查了通过数列的递推公式求出数列的通项公式，属于中档题．