题目内容

设f（x）=sin（x），f1（x）=f'（x），f2（x）=f1'（x），…，fn+1（x）=fn'（x），n∈N，则f2013（x）=（ ）
A．sin
B．-sin
C．cos
D．-cos
【答案】分析：根据题中已知条件先找出函数fn（x）的规律，便可发现fn（x）的循环周期为4，从而求出f2013（x）的值．
解答：解：f（x）=sinx
f1（x）=f'（x）=cosx
f2（x）=f1'（x）=-sinx
f3（x）=f2'（x）=-cosx
f4（x）=f3'（x）=sinx
…
由上面可以看出，以4为周期进行循环
∴f2013（x）=f1（x）=cosx．
故选C．
点评：本题考查三角函数求导、函数周期性的应用，考查观察、归纳方法的应用．
练习册系列答案
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（1）求函数y=
log2
1
sinx
-1
的定义域．

（2）设f（x）=sin（cosx），（0≤x≤π），求f（x）的最大值与最小值．
下列命题中正确的是（　　）
A、设f（x）=sin（2x+
π
3
），则?x∈(-
π
3
，
π
6
)，必有f（x）＜f（x+0.1）
B、?x0∈R．便得
1
2
sinx0+
3
2
cosx0＞1
C、设f（x）=cos（x+
π
3
），则函数y=f（x+
π
6
）是奇函数
D、设f（x）=2sin2x，则f（x+
π
3
）=2sin（2x+
π
3
）
设f（x）=sin（x-sinx），x∈R．关于f（x）有以下结论：
①f（x）是奇函数；  
②f（x）的值域是[0，1]；  
③f（x）是周期函数；
④x=π是函数y=f（x）图象的一条对称轴；  
⑤f（x）在[0，π]上是增函数．
其中正确结论的序号是
①③
①③
．
（2011•武汉模拟）设f（x）=sinπx是[0，1]上的函数，且定义f1（x）=f（x），…，fn（x）=f（fn-1（x）），n∈N*，则满足fn（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是（　　）
（2012•淮北二模）设f（x）=sin（2x+φ），若f（x）≤f（
π
6
）对一切x∈R恒成立，则：
①f（-
π
12
）=0；
②f（x）的图象关于点（
5π
12
，0）对称；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]（k∈Z）
以上结论正确的是
①②③
①②③
（写出所有正确结论的编号）．

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