Question

（2012•淮北二模）设f（x）=sin（2x+φ），若f（x）≤f（

π

6

）对一切x∈R恒成立，则：
①f（-

π

12

）=0；
②f（x）的图象关于点（

5π

12

，0）对称；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
以上结论正确的是

①②③

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析：根据题意可算出函数表达式为：f（x）=sin（2x+

π

6

+2kπ）．通过表达式计算函数值，可得①②都是真命题；根据函数图象的对称性，结合函数奇偶性的图象特征，可得③是假命题；根据正弦函数单调区间的公式，计算得f（x）的单调递增区间不是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z），得④是假命题．

解答：解：∵f（x）≤f（

π

6

）对一切x∈R恒成立，
∴f（x）=sin（2x+φ）在x=

π

6

时取得最大值，即2×

π

6

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，得φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
因此函数表达式为：f（x）=sin（2x+

π

6

+2kπ）
因为f（-

π

12

）=sin[2×（-

π

12

）+

π

6

+2kπ]=sin2kπ=0，所以①是真命题；
∵f（

5π

12

）=sin（2×

5π

12

x+

π

6

+2kπ）=sin（π+2kπ）=0，
∴x=

5π

12

是函数y=f（x）的零点，得点（

5π

12

，0）是函数f（x）图象的对称中心，故②是真命题；
∵函数y=f（x）的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数，得③是真命题；
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z），故④是假命题．
由以上的讨论，可得正确命题为①②③，共三个
故答案为：①②③

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了三角函数的单调性、图象的对称性、函数的最值和零点等知识，属于中档题．