Question

在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ADC，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°．若二面角C-AB-D为60°，求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：设AD=a，F为AC的中点，取AB中点E，连接EF，ED，过F作FH⊥DE，交DE于H，则FH⊥AB，连接AH，则∠FAH就是直线AC与平面ABD所成的角的平面角，由此能求出直线AC与平面ABD所成的角的正弦值．

解答：解：设AD=a，F为AC的中点，
∵AD=CD，∴DF⊥AC．
∵平面ABC⊥平面ACD，∴DF⊥平面ABC，
∵∠CAD=30°，∴DF=

a

2

，AF=

3

2

a，
取AB中点E，连接EF，ED，
∵AB⊥BC，∴EF⊥AB，
∴由三垂线定理，知DE⊥AB，
∴∠DEF是二面角C-AB-D的平面角，
∵二面角C-AB-D为60，∴∠DEF=60°，
∴EF=DF•cot60°=

a

2

•

3

3

=

3

6

a，
∴DE=

( a 2 )2+( 3 6 a)2

=

3

3

a，
∵DE⊥AB，FE⊥AB，DE∩FE=E，
∴AB⊥平面DEF．
过F作FH⊥DE，交DE于H，则FH⊥AB，
∵DE∩AB=E，∴FH⊥平面ABD，
连接AH，则∠FAH就是直线AC与平面ABD所成的角的平面角，
∵

1

2

DE•HF=

1

2

DF•EF，∴HF=

EF•DF

DE

=

3 6 a• a 2

3 3 a

=

a

4

，
∴sin∠FAH=

FH

AF

=

a 4

3 2 a

=

3

6

．
故直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为

3

6

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，综合性强，难度大，对空间思维能力的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．