题目内容
在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为
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分析:设四面体ABCD的外接球球心为O,则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上,且点N为△ABD的中心.设P,M分别为AB,CD的中点,则N在DP上,且ON⊥DP,OM⊥CD,从而可求DM,MN,进而可求四边形DMON的外接圆的直径,即可求得球O的半径.
解答:解:设四面体ABCD的外接球球心为O,则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上.
由题设知,△ABD是正三角形,则点N为△ABD的中心.
设P,M分别为AB,CD的中点,则N在DP上,且ON⊥DP,OM⊥CD.
因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°,设CD与平面ABD所成角为θ,
∴cosθ=
,sinθ=
.
在△DMN中,DM=
CD=1,DN=
•DP=
•
•3=
.
由余弦定理得MN2=12+(
)2-2•1•
•
=2,
故MN=
.
∴四边形DMON的外接圆的直径OD=
=
=
.
故球O的半径R=
.
故答案为:
由题设知,△ABD是正三角形,则点N为△ABD的中心.
设P,M分别为AB,CD的中点,则N在DP上,且ON⊥DP,OM⊥CD.
因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°,设CD与平面ABD所成角为θ,
∴cosθ=
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在△DMN中,DM=
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由余弦定理得MN2=12+(
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故MN=
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∴四边形DMON的外接圆的直径OD=
MN |
sinθ |
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故球O的半径R=
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故答案为:
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点评:本题考查四面体ABCD的外接球,考查学生的计算能力,确定四面体ABCD的外接球球心位置是关键.
练习册系列答案
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在四面体ABCD中,设AB=1,CD=2且AB⊥CD,若异面直线AB与CD间的距离为2,则四面体ABCD的体积为( )
A、
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B、
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C、
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D、
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