Question

【题目】（本题满分12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．

【解析】

试题分析：（1）设直线 ，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；

（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.

试题解析：解：(1)设直线 ，，，．

∴由得，

∴，．

∴直线的斜率，即．

即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．

（2）四边形能为平行四边形．

∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，

由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．

∴由得，即

将点的坐标代入直线的方程得，因此．

四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即

∴ ．解得，．

∵，，，

∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．