Question

13．设x=log₂（sinθ+cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则-x-$\frac{1}{x}$的最大值为-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根据对数函数的图象和和三角函数的图象和性质求出x的范围，再设f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，利用函数的单调性求出函数最值．

解答 解：∵x=log₂（sinθ+cosθ）=log₂（$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$））=log₂$\sqrt{2}$+log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$+log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-$\frac{1}{2}$＜log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤0，
∴0＜$\frac{1}{2}$+log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜x≤$\frac{1}{2}$，
设f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上为增函数，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{5}{2}$，
故答案为：-$\frac{5}{2}$

点评 本题考查了对数函数三角函数图象和性质，以及利用单调性求最值，属于中档题．