Question

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．

Answer 1

解法1：利用二次函数一般式．

设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)．

由题意得

∴所求二次函数为f(x)＝－4x²＋4x＋7.

解法2：利用二次函数的顶点式．

设f(x)＝a(x－m)²＋n(a≠0)．

∵f(2)＝f(－1)，

∴抛物线对称轴为x＝＝，∴m＝.

又根据题意函数有最大值y＝8，∴y＝f(x)＝a²＋8.

∵f(2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a＝－4.

∴f(x)＝－4²＋8＝－4x²＋4x＋7.

解法3：利用二次函数的两根式．

由已知f(x)＋1＝0的两根为x₁＝2，x₂＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，

即f(x)＝ax²－ax－2a－1.

又函数有最大值y_max＝8，即＝8，

解得a＝－4或a＝0(舍去)．

∴所求函数解析式为f(x)＝－4x²＋4x＋7.