Question

如图，在三棱锥中，平面，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设分别为的中点，点为△内一点，且满足，

求证：∥面；

（Ⅲ）若，，

求二面角的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为平面，平面，

       所以．

      又因为，且，

所以平面．

又因为平面，

所以．                              

（Ⅱ）

解法1:因为平面，所以，．又因为，

所以建立如图所示的空间直角坐标系．

设，，，

则，，，

，．

又因为，

所以．

于是，

，．

设平面的一个法向量

，则有

 即 

不妨设，则有，所以．

因为，

所以．又因为平面，

所以∥平面．                                   ………………  9分

 

解法2：

取中点，连，则.

由已知可得,

则点在上.连结并延长交于，连.

因为分别为的中点，

所以∥,即为的中点.

又因为为线段的中点，

所以∥.

又平面,平面,

所以∥平面．

………………  9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量．

     又因为面，所以面的一个法向量是．

   又，

由图可知，二面角为锐角，

       所以二面角的余弦值为．                 ………………  14分