Question

6．已知函数f（x）=|x-2|，方程a[f（x）]²-f（x）+1=0有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 利用换元法，将方程转化为关于t的一元二次方程，利用判别式和根与系数之间的关系即可得到结论．

解答 解：设t=f（x），则当t=0时，f（x）=0，只有一解，
当t＞0时，f（x）=t，有两个解，
则方程a[f（x）]²-f（x）+1=0有四个不同的实数解
等价为at²-t+1=0（a≠0）有两个不同的正解，
即$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4a＞0}\\{{t}_{1}+{t}_{2}=\frac{1}{a}＞0}\\{{t}_{1}{t}_{2}=\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{4}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{4}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查根的存在性的应用，利用换元法将方程进行转化是解决本题的关键．