Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,且AB=BC=CD=DA，则四边形ABCD一定为(　　)

A.空间四边形

B.正方形

C.一般矩形

D.平面四边形

Answer 1

B?

解析：只需证明ABCD是平面四边形即可，采用反证法.假设A、B、C、D四点不共面，则过A点作AA′⊥平面BCD于A′,连结A′B，A′D.∴AA′⊥平面BCD.∴A′B是AB在平面BCD上的射影.?

又∠ABC=90°，即AB⊥BC，根据三垂线定理的逆定理，有A′B⊥BC.同理,A′D⊥CD.这样，在平面四边形A′BCD中有∠A′BC=∠BCD=∠CDA′=90°，且BC=CD，∴四边形A′BCD是正方形，即A′B=BC.又由条件AB=BC，所以A′B=AB.但是在Rt△ABA′中，AB＞A′B产生矛盾.从而A、B、C、D共面，即ABCD是平面四边形.又∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴ABCD是矩形.又AB=BC，?

∴ABCD是正方形.故选B.