Question

已知函数f(x)=

bx+c

ax2+1

(a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x）有最大值

1

2

，且f(1)＞

2

5

，试求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由f（x）为奇函数可知f（-x）+f（x）=0，求得c=0； 依题意可知f（x）的最大值

1

2

必在x＞0时取得，利用基本不等式可求得f（x）≤

b

2 a

=

1

2

，于是a=b²，最后由f（1）＞

2

5

，即可求得

1

2

＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1．

解答：解：由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即

bx+c

ax2+1

+

-bx+c

ax2+1

=0，
∴c=0．
 又a＞0，b是自然数，
∴当x＜0时，f（x）＜0，
 当x＞0时，f（x）＞0，
故f（x）的最大值

1

2

必在x＞0时取得；
当x＞0时，f（x）=

bx

ax2+1

=

b

ax+ 1 x

≤

b

2 a

，
当且仅当ax=

1

x

，即x=

1

a

时取得

b

2 a

=

1

2

，即a=b²，
又f（1）＞

2

5

，
∴

b

b2+1

＞

2

5

，
∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
∴

1

2

＜b＜2 又a＞0，b是自然数可得a=b=1，
∴f（x）=

x

x2+1

．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，考查基本不等式的应用，由基本不等式结合题意得到a=b²是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．