题目内容

如图所示，把一些长度均为4米（PA+PB=4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k
x+y
x2+y2
，若k越大，则“舒适感”越好．
（Ⅰ）求“舒适感”k的取值范围；
（Ⅱ）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH=t，当人在帐蓬里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）．
考点：函数解析式的求解及常用方法
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）利用不等式的知识求出k=
x+y
x2+y2
的取值范围；
（Ⅱ）由PA+PB=4及（Ⅰ）的结论，得y与t的关系式，讨论H点的位置，求出t的取值范围，从而求出y的最大值ymax．
解答： 解：（Ⅰ）k=
x+y
x2+y2
=
x2+2xy+y2
x2+y2
=
1+
2xy
x2+y2
，
∵x2+y2≥2xy，∴
2xy
x2+y2
≤1，（当x=y时，取“=”），
∴k≤
2
；
∵
2xy
x2+y2
＞0，
∴k＞1；
∴k的取值范围是（1，
2
]；
（Ⅱ）由PA+PB=4及（Ⅰ）的结论，得
(
1
2
y+t)2+y2
+
(
1
2
y-t)2+y2
=4，
∴
(
1
2
y+t)2+y2
=4-
(
1
2
y-t)2+y2
，
两边平方，化简得y=4
4-t2
20-t2
，
当H与M重合时，t=0；当H与A重合时，有PA=AB=y，∴y2+y2=（4-y）2，∴y=4
2
-4，即t=2
2
-2；
∴y=4
1-
16
20-t2
（0≤t≤2
2
-2）；
∵0≤t≤2
2
-2，∴
16
20-t2
∈[
4
5
，2
2
-2]；
∴1-
16
20-t2
∈[3-2
2
，
1
5
]，
∴ymax=
4
5
5
，此时t=0．
点评：本题考查了求函数的定义域、值域以及函数的解析式和最值问题，是较难的题目．
练习册系列答案
相关题目
先将函数y=f（x）的图象向右移
π
6
个单位，再将所得的图象作关于直线x=
π
4
的对称变换，得到y=sin(-2x+
π
3
)的函数图象，则f（x）的解析式是（　　）
A、y=sin(-2x+
π
3
)
B、y=sin(-2x-
π
3
)
C、y=sin(2x-
π
3
)
D、y=sin(2x+
π
3
)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=
3
2
．
（Ⅰ）求角C的取值范围；
（Ⅱ）求4sinCcos（C+
π
6
）的最小值．
化简：sin2α-
sinαcosα
sin2α
+cos2α
已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函数；又定义行列式
.
a1a2
a3a4
.
=a1a4-a2a3； 函数g(θ)=
.
sinθ3-cosθ
msinθ
.
 （其中0≤θ≤
π
2
）．
（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．
（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．
解下列不等式：
（1）方程组
x2+6x+8＞0
|2x+3|＜11
；
（2）x2-2|x|-15＞0；
（3）|3x-2|-|2x+3|＜7．
已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4，求当x=-1时y的值．
直线x-2y-2=0与圆C（x-1）2+（y-2）2=10交于A，B两点，则弦AB的长为
 
．
设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰有6个不同的实数根，则这6个实数根的和为
 
．

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