Question

【题目】如图，在棱长为的正方形中，、分别为，边上的中点，现将点以为轴旋转至点的位置，使得为直二面角．

（1）证明：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）根据题意画出平面图形及空间几何图形，由中位线定理及正方形性质证明面，即可得.

（2）．过作，以OA，OB，OM为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，即可由平面向量数量积定义求得异面直线与所成角的余弦值．

（1）证明：在正方形中，连结交于．连结，如下图所示：

则．

因为、分别为，边上的中点，

所以．

所以．

在空间几何体中如下图所示：

所以在棱锥中，，，

所以面，

又因为面，

所以．

（2）设．过作，已知OA，OB，OM两两垂直，

如图分别以OA，OB，OM为，，轴建立空间直角坐标系如下图所示：

，，，，，

，，

，

所以与面所成角的余弦值为．