Question

【题目】对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．

（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）

（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）

（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．

Answer 1

【答案】（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．

【解析】

（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；

（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；

（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.

（1），，，．

（2）设，其中，

则由题意：，故，即，

考虑，可知：，或，

若，则考虑，

，，则，

，但此时，，不满足题意；

若，此时，满足题意，

，其中为相异正整数．

（3）记，则，

首先，，设，其中，

分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，

而，，

，

对于，考虑，，其和大于，故其差，

特别的，，，

由，且，，

以此类推：，

，此时，

故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．