Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数），.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）.

【解析】

（1）求出导函数，由导数确定单调性，然后得极值；

（2）设，求出导数，对再求导，以确定的单调性和正负，是的最小值，分类讨论，若，易知结论成立，当时，说明存在，使得，然后得的单调性，确定有两个零点，不满足题意．从而得出的范围．

解：（1）当时，，

令，则列表如下：

		1
	-	0	+
	单调递减	极小值	单调递增

所以；

（2）设

，

设，

由得，在单调递增，

即在单调递增，，

①当，即时，时，，在单调递增，

又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解.

②当，即时，由（1）可知，

所以，又，

故，当时，单调递减，又，

故当时，，

在内，关于的方程有一个实数解1，

又时，单调递增，

且，令，

，故在单调递增，又

，

∴当时，，∴在单调递增，故，故，

又，由零点存在定理可知，，

故在内，关于的方程有一个实数解，

又在内，关于的方程有一个实数解1，

综上，.