Question

【题目】已知函数，，令

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）

【解析】

（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；

（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；

解：（1）当时，

．

令得又，所以．所以的单调递增区间为．

令得又，所以．所以的单调递减区间为．

综上可得：的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）令．

所以．

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为．

所以关于的不等式不能恒成立．

当时，．

令得，所以当时，；当时，．

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为．

令，因为，．

又因为在上是减函数，所以当时，．

所以整数的最小值为2．