Question

【题目】已知函数（）.

（1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围

（2）证明：

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）令，得到，令，，利用导数求得函数的单调性与最小值，要使函数有两个零点，则函数的图象与有两个不同的交点，即可求解；

（2）要证明，只需，令，利用导数求得函数的的单调性与最值，即可求解.

（1）由题意，函数的定义域为，

令，则，

记，，

则，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以有最小值，且为，

又当时，；当时，，

所以要使函数有两个零点，则函数的图象与有两个不同的交点，

则，即实数a的取值范围为.

（2）由（1）知，函数有最小值为，可得，

当且仅当时取等号，

因此要证明，

即只需要证明，

记，则，

令，得.

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，

即恒成立，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号.