Question

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，若a_n=145，则n=　　．

Answer 1

考点：

等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，写出对应的n﹣1个等式，然后用累加的办法求出该数列的通项公式，然后代入项求项数．

解答：

解：a₂﹣a₁=5﹣1=4，a₃﹣a₂=12﹣5=7，a₄﹣a₃=22﹣12=10，…，由此可知数列{a_n+1﹣a_n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．

所以a_n+1﹣a_n=4+3（n﹣1）=3n+1．

a₂﹣a₁=3×1+1

a₃﹣a₂=3×2+1

…

a_n﹣a_n﹣1=3（n﹣1）+1

累加得：a_n﹣a₁=3（1+2+…+（n﹣1））+n﹣1

所以=1++n﹣1=．

由，解得：．

故答案为10．

点评：

本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，即从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，本题训练了一种求数列通项的重要方法﹣﹣累加法．