Question

（选修4-5：不等式选讲）
已知a，b，c∈R⁺，且

1

a

+

2

b

+

3

c

≤|x|+|x-2|对?x∈R恒成立，求a+2b+3c的最小值．

Answer 1

分析：由于|x|+|x-2|≥2，即可得到

1

a

+

2

b

+

3

c

≤2，再由柯西不等式即可得到a+2b+3c的最小值．

解答：解：∵|x|+|x-2|≥|x-x+2|=2，
∴

1

a

+

2

b

+

3

c

≤2，
由柯西不等式得到（

1

a

+

2

b

+

3

c

）（a+2b+3c）
=[(

1 a

)2+(

2 b

)2+(

3 c

)2][(

a

)2+(

2b

)2+(

3c

)2]≥36
故a+2b+3c≥

36

2

=18，当且仅当

1 a

a

=

2 b

2b

=

3 c

3c

即a=b=c时，取等号，
故当a=b=c时，a+2b+3c取最小值18．

点评：本小题主要考查柯西不等式在函数极值中的应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．