Question

（2013•徐州模拟）[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足acos²θ+bsin²θ＜c，求证：

a

cos2θ+

b

sin2θ＜

c

．

Answer 1

分析：由柯西不等式定理构造不等式

a

cos2θ+

b

sin2θ≤[（

a

cosθ）²+（

b

sinθ）²] 

1

2

（cos²θ+sin²θ） 

1

2

直接证明即可．

解答：证明：由柯西不等式，得 

a

cos2θ+

b

sin2θ
≤[（

a

cosθ）²+（

b

sinθ）²] 

1

2

（cos²θ+sin²θ） 

1

2

=（acos²θ+bsin²θ） 

1

2

＜

c

．…（10分）

点评：本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题．