题目内容
（2013•泰州三模）选修4-5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：
≥
．
已知a＞0，b＞0，n∈N*．求证：
| an+1+bn+1 |
| an+bn |
| ab |
分析：先用分析法证明
≥
，再利用基本不等式，即可证得
≥
成立．
| an+1+bn+1 |
| an+bn |
| a+b |
| 2 |
| an+1+bn+1 |
| an+bn |
| ab |
解答：证明：先证
≥
，
只要证 2（an+1+bn+1）≥（a+b）（an+bn），
即要证 an+1+bn+1-anb-abn≥0，
即要证 （a-b）（an-bn）≥0，…（5分）
若 a≥b，则a-b≥0，an-bn≥0，所以，（a-b）（an-bn）≥0．
若a＜b，则a-b＜0，an-bn＜0，所以（a-b）（an-bn）＞0，
综上，可得 （a-b）（an-bn）≥0，从而
≥
．…（8分）
因为
≥
，所以
≥
． …（10分）
| an+1+bn+1 |
| an+bn |
| a+b |
| 2 |
只要证 2（an+1+bn+1）≥（a+b）（an+bn），
即要证 an+1+bn+1-anb-abn≥0，
即要证 （a-b）（an-bn）≥0，…（5分）
若 a≥b，则a-b≥0，an-bn≥0，所以，（a-b）（an-bn）≥0．
若a＜b，则a-b＜0，an-bn＜0，所以（a-b）（an-bn）＞0，
综上，可得 （a-b）（an-bn）≥0，从而
| an+1+bn+1 |
| an+bn |
| a+b |
| 2 |
因为
| a+b |
| 2 |
| ab |
| an+1+bn+1 |
| an+bn |
| ab |
点评：本题主要考查用分析法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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