题目内容
12．已知正项等比数列{an}满足log2an+2-log2an=2，且a3=8，若数列{bn}满足b1=1，bn•bn+1=an，则b11+b12=96．分析 设正项等比数列{an}的公比为q＞0，由log2an+2-log2an=2，可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=22=q2，解得q=2．由于a3=8，可得an=${a}_{3}•{q}^{n-3}$．可得b2=2．n≥2时，$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=2，可得bn+1=2bn-1，因此数列{bn}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，即可得出．
解答 解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，
由log2an+2-log2an=2，∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=22=4=q2，解得q=2．
∵a3=8，∴an=${a}_{3}•{q}^{n-3}$=8×2n-3=2n．
∴bn•bn+1=an=2n．
∴b2=2．
∴n≥2时，$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=2，可得bn+1=2bn-1，
∴数列{bn}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，
则b11=1×25=32，b12=2×25=64，则b11+b12=96．
故答案为：96．
点评 本题考查了等比数的通项公式、对数的运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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