Question

（本小题满分14分）给定正奇数，数列：是1，2，…，的一个排列，定义E（，…，）为数列：，，…，的位差和.

（1）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；

（2）若位差和E（，，…，）=4，求满足条件的数列：，，…，的个数；

（3）若位差和，求满足条件的数列：的个数.

Answer 1

（1）4;（2）;（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据定义直接计算即可；（2）当位差和为4时，分两情况：当，，，，且，可算得共有种情况，分别等于，，或，，或，，其他项（其中）时，有种可能，两种情况相加即可；（3）将去绝对值符号后，所得结果为

112233…的形式，其中恰好有个数前面为减号，这表明

，

此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，…，2个和1个.

上面的讨论表明，题中所求的数列是使得E（）最大的数列，这样的数列在时，要求从1，2，…，中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的排列作为…，的对应值，较小的个数的排列作为，，…，的对应值，于是所求数列的个数为.满足条件的数列的个数为

试题解析：（1）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）

（2）若数列：，，…，的位差和E（，，…，）=4，有如下两种情况：

情况一：当，，，，且，其他项（其中）时，有种可能；（5分）

情况二：当分别等于，，或，，或，，其他项（其中）时，有种可能；（7分）

综上，满足条件的数列：的个数为

.（8分）

例如：时，

情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；

情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；

形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；

形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4.

（3）将去绝对值符号后，所得结果为

112233…

的形式，其中恰好有个数前面为减号，这表明

，（10分）

此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，…，2个和1个.（11分）

上面的讨论表明，题中所求的数列是使得E（）最大的数列，这样的数列在时，要求从1，2，…，中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的排列作为…，的对应值，较小的个数的排列作为，，…，的对应值，于是所求数列的个数为.

综上，满足条件的数列的个数为（14分）

例如：时，

E（）.

此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3.

若E（）=12，，此时时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为，将剩余数中较大的2个数的排列作为，的对应值，较小的2个数的排列作为的对应值，于是所求数列的个数为.

4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；

4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；

4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；

3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；

3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1.

题目背景：假设现在有种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，…，，鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这种物品进行排列依次编号为，其中是1，2，…，的一个排列，那么可以用数列：的位差和

E（）=，

来评判鉴别师的能力.

当E（）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；

当E（）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；

第二问，位差和E（）=4时，给出数列：的情况；

第三问，说明位差和E（）最大值为，且给出取得最大值时，数列：的情况.

考点：新定义问题、数列求和、基本不等式、排列与组合.