Question

4．设函数$f（x）=\frac{（x+1）（x+a）}{x}$为奇函数，则实数a的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． 2

Answer 1

分析 法一：由函数f（x）为奇函数，根据奇函数的性质得到f（-x）=-f（x），分别代入列出关于a的方程，即可求出a的值．
法二：由奇函数的性质可知，g（x）=（x+1）（x+a）=x²+（a+1）x+a为偶函数，根据偶函数的性质可知，函数的对称轴x=0可求a

解答 解：由题意可得，x≠0，f（-x）=-f（x），
∴$\frac{（-x+1）（-x+a）}{-x}=-\frac{（x+1）（x+a）}{x}$，
整理可得，2（a+1）x=0对任意x≠0都成立，
∴a+1=0，
∴a=-1，
故答案为：-1．
法二：∵$y=\frac{{（{x+1}）（{x+a}）}}{x}$是奇函数，
由奇函数的性质可知，g（x）=（x+1）（x+a）=x²+（a+1）x+a为偶函数，
根据偶函数的性质可知，函数的对称轴x=-（a+1）=0，
∴a=-1，
故选：C．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的性质，当函数为偶函数时有f（-x）=f（x）；当函数为奇函数时有f（-x）=-f（x），熟练掌握此性质是解本题的关键