题目内容
16．已知直线y=3x上一点P的横坐标为a，有两定点A（a，3a+2）、B（3，3），向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$夹角为钝角，求实数a的取值范围．分析 由题意可得P（a，3a），A（a，3a+2），B（3，3），求得向量PA，PB的坐标，向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$夹角为钝角，等价为$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$不共线．运用向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，计算即可得到所求范围．
解答 解：由题意可得P（a，3a），A（a，3a+2），B（3，3），
$\overrightarrow{PA}$=（0，2），$\overrightarrow{PB}$=（3-a，3-3a），
向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$夹角为钝角，
等价为$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，且$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$不共线．
由$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$＜0，可得2（3-3a）＜0，解得a＞1，
由$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$共线，可得2（3-a）=0，解得a=3，
综上可得，a的取值范围是{a|a＞1且a≠3}．
点评 本题考查向量的夹角为钝角的等价条件，考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题和易错题．
练习册系列答案
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4．${C}_{3}^{0}$+${C}_{4}^{1}$+${C}_{5}^{2}$+${C}_{6}^{3}$+…+${C}_{2013}^{2010}$的值为（ ）
| A． | ${C}_{2013}^{3}$ | B． | ${C}_{2014}^{3}$ | C． | ${C}_{2014}^{4}$ | D． | ${C}_{2013}^{4}$ |
11．设函数y=lnx与y=ax2-a的图象有公共点．且在公共点处有共同的切线．则a的值为（ ）
| A． | $\frac{e}{2}$ | B． | 1 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 1或$\frac{1}{2}$ |
1．已知$\sqrt{3}$sinθcosθ-$\frac{1}{2}$cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，则cos2θ=（ ）
| A． | $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$ | B． | $\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$ | C． | $\frac{-3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$ | D． | $\frac{-3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$ |
8．已知θ∈R，向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{b}$=（2，1），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则sin2θ（ ）
| A． | $\frac{4}{5}$ | B． | -$\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | -$\frac{2}{5}$ |