题目内容

将正数数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成数列为{b_n}，各行的最后一个数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成数列为{c_n}，第n行所有数的和为s_n（n=1，2，3，4，…）．已知数列{b_n}是公差为d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q，且 $数学公式$ ．
（1）求数列{c_n}，{s_n}的通项公式．
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n的表达式．

解：（1）∵表中各行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成数列为{b_n}，
∴b_n=dn-d+1，前n行共有 $\text{[math]}$ 个数，
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即（4d+1）q²=1
又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，…（4分）
所以：b_n=2n-1，
∵各行的最后一个数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成数列为{c_n}，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵第n行所有数的和为s_n，
∴ $\text{[math]}$ ．…（7分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…①…（8分）
$\text{[math]}$ …②…（9分）
①②两式相减得： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（13分）
所以： $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）利用表中各行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成数列为{b_n}，可得b_n=dn-d+1，前n行共有 $\text{[math]}$ 个数，再结合 $\text{[math]}$ ，可求数列{b_n}，{c_n}，{s_n}的通项公式；
（2）根据数列{c_n}的通项特点，利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和T_n的表达式．
点评：本题考查数阵与数列的额连续，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，针对数列通项的特点，选择正确的方法是关键．

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将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

2bn

bnSn-

=1(n≥2)．
（Ⅰ）证明数列{

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-

时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

将正数数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成数列为{b_n}，各行的最后一个数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成数列为{c_n}，第n行所有数的和为s_n（n=1，2，3，4，…）．已知数列{b_n}是公差为d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q，且a1=a13=1，a31=

．
（1）求数列{c_n}，{s_n}的通项公式．
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n的表达式．

将正数数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数构成数列为{b_n}，各行的最后一个数构成数列为{c_n}，第n行所有数的和为．已知数列{d_n}是公差为d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q，且．

(1)求数列的通项公式．

(2)求数列{c_n}的前n项和T_n的表达式．

．
（1）求数列{c_n}，{s_n}的通项公式．
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n的表达式．

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